Interés compuesto

Para el interés compuesto, calculamos el interés del primer periodo, lo sumamos al total, y después calculamos el interés del siguiente periodo, y sigue... así:

Aquí tienes los cálculos para un préstamo de 5 años al 10%:

Año	Préstamo inicial	Interés	Préstamo final
0 (Ahora)	$1,000.00	($1,000.00 × 10% = ) $100.00	$1,100.00
1	$1,100.00	($1,100.00 × 10% = ) $110.00	$1,210.00
2	$1,210.00	($1,210.00 × 10% = ) $121.00	$1,331.00
3	$1,331.00	($1,331.00 × 10% = ) $133.10	$1,464.10
4	$1,464.10	($1,464.10 × 10% = ) $146.41	$1,610.51
5	$1,610.51

 Para ahorrar este proceso se usa la siguiente fórmula para el Monto
                         n
M= C (1+i)

Operaciones con fracciones algebraicas: SUMA Y RESTA

SUMA (O RESTA) DE FRACCIONES ALGEBRAICAS PASO A PASO

 El objetivo es unir las dos fracciones en una y luego simplificas la fracción resultante, pero para poder unirlas ambas deben tener el mismo denominador, para lo que se realizan los dos primeros pasos. Una vez unidas debemos desarrollar el numerador, convertirlo en un simple polinomio y descomponerlo en factores para poder simplificar la fracción.

Son conocimientos importantes: Saber hallar el mínimo común múltiplo de varios polinomios, saber operar con fracciones, saber multiplicar, sumar y restar  polinomios y saber simplificar fracciones polinómicas

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              Descomponemos los denominadores en factores:
    Reducimos las fracciones a común denominador:
       Unimos las dos fracciones:
          Multiplicamos los polinomios:
         Quitamos paréntesis:
        Reducimos términos semejantes:
Descomponemos en factores el numerador:
          Simplificamos la fracción:
_{este es el resultado.}

Ecuación general de la circunferencia

Ecuación General de la Circunferencia

Si conocemos el centro y el radio de una circunferencia, podemos construir su ecuacion ordinaria, y si operamos los cuadrados, obtenemos la forma general de la ecuación de la circunferencia, así: Prueba:Ejemplo:

Hallar la ecuación general de la circunferencia con centro C(2;6) y radio r = 4

(x - 2)² + (y - 6)² = 4²

x² - 2(2x) + 2² + y² - 2(6y) + 6² = 4²

x² - 4x + 4 + y² - 12y + 36 = 16

x² + y² - 4x - 12y + 4 + 36 - 16 =0

x² + y² - 4x - 12y + 24 = 0

D = -4 , E = -12 , F = +24

Observaciones:

Dada la ecuacion de la circunferencia x² + y² + Dx + Ey + F = 0 se cumple que:

Distancias y Punto medio de Rectas

Distancia entre dos puntos

Cuando los puntos se encuentran ubicados sobre el eje x o en una recta paralela a este eje, la distancia entre los puntos corresponde al valor absoluto de la diferencia de sus abscisas.
Ejemplo: La distancia entre los puntos (-4,0) y (5,0) es 4 + 5 = 9 unidades.
Cuando los puntos se encuentran ubicados sobre el eje y o en una recta paralela a este eje, la distancia entre los puntos corresponde al valor absoluto de la diferencia de sus ordenadas.
Ahora si los puntos se encuentran en cualquier lugar del sistema de coordenadas, la distancia queda determinada por la relación:

Para demostrar esta relación se deben ubicar los puntos A(x₁,y₁) y B(x₂,y₂) en el sistema de coordenadas, luego formar un triángulo rectángulo de hipotenusa AB y emplear el teorema de pitágoras.

Ejemplo: Calcula la distancia entre los puntos A(7,5) y B (4,1)

d = 5 unidades

Distancia entre un punto y una recta.

 

Dada una recta r:Ax+By+C=0 y P=(p₁,p₂) un punto no contenido en ella. La distancia entre el punto y la recta viene dada por:
Consideremos la recta r:6x+8y-10=0 y el punto P=(2,1) calculamos la distancia entre ambos.

Punto medio entre dos puntos 

Punto medio entre dos puntos de calculadora es una herramienta en l�nea para el c�lculo de geometr�a anal�tica programado para encontrar el punto medio exacto entre los dos puntos dados por un promedio de las coordenadas XY. El punto medio se define como el punto que se encuentra exactamente a mitad de camino entre dos puntos dados. Los dos coordiantes determinados (x₁, y₁) y (x₂, y₂) en el plano XY se utilizan en esta calculadora para encontrar el punto medio. Entonces la f�rmula para encontrar el punto medio entre dos puntos como sigue

F�rmula del punto medio: M =

Mínimo comúm múltiplo (M.C.M)

De dos o más expresiones algebraicas es aquella que contiene exactamentes a aquellas expresiones iniciales.

Para calcular el m.c.m de polinomios es necesario que se factoricen estos polinomios y de sus resultados finales y factorizado se eligen los factores comunes y no comunes que formarán el mcm.

Ejemplo:

x2+x-6 ; x2-9 ; 6x+18

x2+x-6 = (x+3)(x-2)

x2-9 = (x+3)(x-3)

6x+18 = 6 (x+3)

Los factores que se repiten son: (x+3)

Los factores que no se repiten son 6 (x-3)(x-2)

Por lo tanto el M.C.M será  6(x-3)(x+3)(x-2)

Rectas paralelas y perpendiculares

 

 

Ejercicios sobre ecuación de la circunferencia

1. Calcular la ecuación de la circunferencia de centro (1, 1) y que contiene al punto (-2, 3).

 

Resolución:

 

Así la ecuación es:

 

 

2. Hallar la ecuación de la circunferencia que tiene centro en el punto (3, 4) y es tangente a la recta x - 2y + 3 = 0

 

Resolución:

· El radio es la distancia del centro a una recta tangente:

 

                                

 · La ecuación es:

 

                                     

_{Para graficar la recta x-2y+3=0 se buscan los interceptos x=-c/a y el intercepto b en la forma particular y= mx+b}

Ecuación de la circunferencia

Sean  las coordenadas del centro de la circunferencia C(0;0) y el radio "r", podemos utilizar la siguiente ecuación para determinar el valor de "y" correspondiente a un valor de "x". Ejemplo:

Hallar la ecuación de la circunferencia cuyo centro es el origen y con radio r = 3

x ² + y ² = 3²

Dadas las coordenadas del centro de la circunferencia C(h;k) y el radio "r" de la misma, podemos utilizar la siguiente ecuación para determinar el valor de "y" correspondiente a un valor de "x".Ejemplo:

Hallar la ecuación de la circunferencia cuyo centro es C(2;6) y con radio r = 4

(x - 2)² + (y - 6)² = 4²

Método Lagarto y Saldos Deudores

Cuando se adquiere un bien o se utiliza u capital a crédito existen dos maneras de calcular los pagos o cuotas mensuales.

1. Método Lagarto: se llama así por el excesivo interés que produce.

Si se compra una lavadora de $200 al 18% mensual a 12 meses plazo.

M= C (1+it)                                      Cuota fija mensual= 236/12 0 19,67

M= 200 (1+ 0,18.1)

M= 236

El interés que se paga es de 36 dólares y las cuotas fijas mensuales son de 19,67 dólares.

2. Método de saldos deudores: El interés que se paga es menor ya que a medida que pasan los pagos el capital disminuye una porción fija por ende los intereses también, lo que provoca que las cuotas sean cada vez menor.

Para el mismo ejemplo anterior:  tasa de interés mensual= 18/12 = 1,5%

Cuota fija de capital= 200/12= 16,67   este valor se resta mes a mes del capital

I1= Cit = (200)(0,015)(1)= 3               1era cuota= 16,67+3=19,67

I2= Cit = (183,33)(0,015)(1)= 2,75      2da cuota = 16,67+2,75= 19,42

I3= Cit = (166,66)(0,015)(1)= 2,50      3era cuota= 16,67+2,50= 19,17

Para calcular el monto y no realizar todas las cuotas una a una se utilizan las progresiones geométricas y que cada cuota diminuye siempre en 0,25.

a= primera cuota               n= número de cuotas           S= Sumatoria

u= última cuota                 r= razón o diferencia

u=a+(n-1)r

u= 19,67+(12-1)(-0,25) = 16,92     este el valor de la última cuota

S= n/2 (a+u)

S= 12/2 (19,67+16,92)= 219,54     este es el monto pagado por la lavadora

El interés de esta método es de 19,54, mucho menor que el obtenido en el método lagarto.

Rectas Paralelas y Perpendiculares

RECTAS PARALELAS

Dos rectas paralelas tienen la misma pendiente, es decir la misma inclinación, debido a que nunca se intersectan.

M1 = M2

RECTAS PERPENDICULARES

Dos rectas perpendiculares tienen sus pendientes opuestas e inversas, esto debido a que se cortan en un punto formando un ángulo de 90°.

M2 = -1/M1

PROCEDIMIENTO PARA HALLAR ECUACIONES DE RECTAS PARALELAS Y PERPENDICULARES.

1. Se grafica la recta de referencia en le plano, encontrando para ello los interceptos y la pendiente (M1). Ej.

2x+3y-5=0

x= -c/a = 5/2 = 2,5

y = -2x/3 + 5/3

b = 5/3 = 1,67

M1= -2/3

2. Con el punto que entrega el problema y la pendiente hallada (si son paralelas) o su opuesta e inversa (si son perpendiculares), se aplica la fórmula de la ecuación punto-pendiente para hallar la recta solicitada.

P (3 , 4)     M2= -2/3   (paralelas)                                  P (3 , 4)          M2= 3/2 (perpendiculares)

y-y1 = m (x-x1)                                                            y-y1 = m (x-x1)   

y-4 = -2/3 (x-3)                                                             y-4 = 3/2 (x-3)

3y -12 = -2x+6                                                              2y-8 = 3x-9

2x+3y-18=0                                                                  -3x+2y+1=0

3. Graficamos la nueva recta y comprobamos si es paralela o perpendicular a la recta de referencia.

2x+3y-18=0                                                                 -3x+2y+1=0

x= -c/a = 18/2 = 9                                                          x= -c/a = -1/-3= 0,33

y= -2x/3 +18/3                                                               y= 3x/2 -1/2

b = 18/3 = 6                                                                   b= -1/2 = -0,5