Ecuación de la elipse

Ecuaciones Analíticas de la Elipse 
 

Caso 1. Elipses con focos. F’(-c, 0) y F(c, 0) ; c > 0 

Eje mayor: Longitud 2a (2a > 0) 
Eje menor: Longitud 2b (2b > 0) 
 

 TEOREMA: 

La ecuación de la elipse con focos en los puntos F’(-c, 0) y F(c, 0), eje mayor 2a, y eje menor 2b, (fig. 6.2.3.) viene dada por: 
(1) 
 
 

                                       fig. 6.2.3.                                                     fig. 6.2.4. 

 
 

Caso 2. Elipses con focos F’(0, -c) y F(0, c) ; c > 0 
Eje mayor: Longitud 2a (a > 0) 
Eje menor: Longitud 2b (b > 0) 
 

TEOREMA: 

La ecuación de la elipse con focos en los puntos F’(0, -c) y F(0, c), eje mayor 2a, y, eje menor 2b (fig. 6.2.4.), viene dada por:  

(2)  

Caso 3. (Caso General). 

 Si en vez de considerar el centro de la elipse en el punto (0, 0), como se hizo en los  dos  casos anteriores, se considera el punto C (h, k), la ecuación de la elipse correspondiente, se transforma utilizando las ecuaciones de traslación (sección 6.1.2.) en: 

(3) 

Si a > b, el eje focal es paralelo al eje x. (sobre la recta y = k) 
Si b > a, el eje focal es paralelo al eje y. (sobre la recta x = h) 
 
 
 

fig. 6.2.5.                      (a)   (x-h)² + (y-k)²                                                                 (b) (x-h)² + (y-k)² 
                              a²            b²                                                                                    b²            a²  

Ecuación de la parábola

Ecuación de la parábola en la forma general

Aceptamos el significado de general como la parábola cuyo vértice no está situado en el origen de coordenadas.

Supongamos que el vértice de una parábola cuando su eje focal es paralelo al eje Y se halla situado en el punto (h,k).

En este caso tendremos que trasladar el vértice al nuevo punto quedándonos establecida la fórmula:

Hacemos operaciones:

Damos valores a:

Sustituyendo estos valores en (I) obtenemos la ecuación general de la parábola:

Cuando su eje focal es paralelo al eje X se halla situado en el punto (h, k)  la fórmula es:

26.42 Una parábola tiene su foco en el punto F(5,0) y su vértice en V(1,0). ¿Cuál es su ecuación? Dibuja la parábola.

Respuesta:

Solución

El valor de

El punto (h, k) corresponde a (1, 0)

La ecuación es:

La ecuación se refiere a una parábola ¿cuál es su vértice?

Respuesta:

Solución
A la ecuación que nos han dado le sumamos y restamos 9 para obtener el desarrollo del cuadrado de dos números:

La podemos transformar en:

Sacamos factor común:

Vemos que el vértice está situado en