Trinomio Cuadrado Perfecto

EJEMPLO 1: (Términos positivos)


x²  +  6x  +  9 = (x + 3)²

x                3
      2.3.x
         6x


Busco dos términos que sean "cuadrado" de algo. Son: x² y 9. Entonces "bajo" la x y el 3 (las RAICES). Luego verifico 2.x.3 = 6x ("doble producto del primero por el segundo"). Dió igual que el otro término. El polinomio es un cuadrado "perfecto". El resultado de la factorización es la suma de las raices elevada al cuadrado: (x + 3)²


EJEMPLO 2: 

x² + 2x + 1 = (x + 1)²

x            1
    2.1.x
      2x

Recordemos que el "1" es cuadrado (de "1" y "-1"). Las raices son: x y 1.
La verificación de que es "perfecto" es 2.x.1 = 2x.
El resultado es (x + 1)²




EJEMPLO 3: (Con fracciones)


x²  +   8/3 x  +  16/9 = (x + 4/3)²

x                      4/3
      2. 4/3 . x
        8/3 x

La fracción 16/9 es cuadrado de 4/3. Las raices son x y 4/3.

Ecuaciones exponenciales y logarítmicas

^Resolver

^Solución

Ecuaciones Trigonométricas

Una ecuación trigonométrica es aquella ecuación en la que aparecen una o más funciones trigonométricas. En las ecuaciones trigonométricas la incógnita es el ángulo común de las funciones trigonométricas. No puede especificarse un método general que permita resolver cualquier ecuación trigonométrica; sin embargo, un procedimiento efectivo para solucionar un gran número de éstas consiste en transformar, usando principalmente las identidades trigonométricas, todas las funciones que aparecen allí en una sola función (es recomendable pasarlas todas a senos o cosenos). Una vez expresada la ecuación en términos de una sola función trigonométrica, se aplican los pasos usuales en la solución de ecuaciones algebraicas para despejar la función; por último, se resuelve la parte trigonométrica, es decir, conociendo el valor de la función trigonométrica de un ángulo hay que pasar a determinar cuál es ese ángulo. 

 

Suma o Diferencia de Cubos Perfectos

a3	+	b3	=	(a + b)(a2 - ab + b2)
a		b

a3	-	b3		=	(a - b)(a2 + ab + b2)
a		b

Procedimiento para factorizar

La suma de sus cubos perfectos se descompone en dos factores: 1. La suma de sus raíces cúbicas 2. El cuadrado de la primera raíz, menos el producto de las dos raíces, más el cuadrado de la segunda raíz. La diferencia de dos cubos perfectos se descompone en dos factores: 1. La diferencia de sus raíces cúbicas. 2. El cuadrado de la primera raíz, más el producto de las dos raíces, más el cuadrado de la segunda raíz.
Factorizar 8x3 + 27 La raíz cúbica de : 8x3 es 2x La raíz cúbica de : 27 es 3 Según procedimiento 8x3 + 27 = (2x + 3)[(2x)2 - (2x)(3) + (3)2] Luego 8x3 + 27 = (2x + 3)(4x2 - 6x + 9) Factorizar 64x3 - 1000 La raíz cúbica de : 64x3 es 4x La raíz cúbica de : 1000 es 10 Según procedimiento 64x3 - 1000 = (4x - 10)[(4x)2 + (4x)(10) + (10)2] Luego 64x3 - 1000 = (4x - 10)(16x2 + 40x + 100)

Diferencia de cuadrados

Se le llama diferencia de cuadrados al binomio conformado por dos términos a los que se les puede sacar raíz cuadrada exacta.
Al estudiar los productos notables teníamos que:

En donde el resultado es una diferencia de cuadrados, para este capitulo es el caso contrario:

Donde siempre la diferencia de cuadrados es igual al producto de la suma por la diferencia de sus bases.
Pasos:

1. Se extrae la raíz cuadrada de ambos términos.

2. Se multiplica la suma por la diferencia de estas cantidades (el segundo termino del binomio negativo es la raíz del termino del binomio que es negativo).

Ejemplo explicativo:

Ejemplos:

Ecuaciones exponenciales

Las  funciones exponencial y logarítmica  son las que tienen más presencia en los fenómenos observables,  por lo que existen diversidad de situaciones  cuyo estudio implica el planteamiento de ecuaciones  exponenciales o logarítmicas. 
Ejemplo de ello  es la escala Rither. En ella se define la magnitud M de un terremoto en función de la amplitud A de sus ondas superficiales así: M=log A+C donde C =3,3+1,66 logD-logT es una constante que depende del periodo T de las ondas registradas en el sismógrafo y de la distancia D de éste al epicentro, en grados angulares. Si quisiésemos saber la amplitud (intensidad) de la onda sísmica tendríamos que resolver una ecuación logarítmica.
También tendríamos que resolver ecuaciones  si queremos hallar el número horas necesarias (t) para que la bacteria  Escherichia coli presente en el intestino de muchos mamíferos alcance un número concreto. (P=P₀.2^t/D  siendo  P= 8000 bacterias,  P₀  =500 D=30).
Análogamente si queremos hallar la antigüedad de un hueso hallado en un yacimiento arqueológico sabiendo que contiene el 20% del  carbono 14 que contenía en vida del animal, tenemos que resolver la ecuación: 0,2=e-^0,000121t .

Teorema (Leyes de los Exponentes) 

Sean a y b reales positivos ,entonces: 

1.  

2.  

3.  

4.  

5.  . 

6 . 

Resolver las ecuaciones exponenciales:

Más Identidades Trigonométricas

Demostración de Identidades Trigonométricas

Dada una proposición trigonométrica, demostrarla consiste en transformarla hasta convertirla
en una igualdad que sea cierta sin lugar a dudas.

Para que una igualdad trigonométrica quede demostrada se debe llegar a:
1) una identidad, es decir, a algo igual a sí mismo; o bien
2) a una cualquiera de las fórmulas trigonométricas.

Recuerda que para demostrar identidades, no sólo debo contar con los conocimientos básicos de trigonometría, sino también con el conocimiento de operaciones con expresiones algebraicas, factorización productos notables, operaciones con fracciones, entre otros.
Debes agregarle otros ingredientes muy valiosos: mucha astucia,  un poco de ingenio y bastante razonamiento lógico.

Ecuación de la recta punto-pendiente

Esta forma de obtener la ecuación de una recta se suele utilizar cuando se conocen su pendiente y las coordenadas de uno solo de sus puntos.
Entonces, la ecuación de la recta que pasa por el punto P₁ = (x₁,  y₁)  y tiene la pendiente dada m,  se establece de la siguiente manera:

y – y₁ = m(x – x₁)

Ejemplo
Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto A (2, – 4) y que tiene una pendiente de  – 1/3
Al sustituir los datos en la ecuación, resulta lo siguiente:
y – y₁ = m(x – x₁)
y – (–4) = – 1/3(x – 2)
3(y + 4) = –1(x – 2)
3y + 12 = –x + 2
3y +12 + x – 2 = 0
3y + x + 10 = 0
x + 3y + 10 = 0   Forma General
y = -1/3 x- 10/3   Forma Particular
 

 

Ecuación de la recta

Ecuación de una  recta

La ecuación GENERAL de una línea recta tiene la forma:

 

y = mx + b

¿Qué significa?

		Pendiente Intersección Y
y = cuánto arriba x = cuán lejos m = gradiente o pendiente (cuán inclinada es la línea) b = la intersección Y (donde la línea se cruza con el eje Y) La ecuación de la recta también la podemos expresar con todos los términos en lado izquierdo de la ecuación, igualados a cero. Es lo que se denomina: Ecuación general o implícita de la recta:

Logaritmos

En matemática, el logaritmo de un número en una base determinada es el exponente al cual hay que elevar la base para obtener el número. Es la función matemática inversa de la función exponencial.

Dado un número real (argumento x), la función logaritmo le asigna el exponente n (o potencia) a la que un número fijo (base b) se ha de elevar para obtener dicho argumento. Es la función inversa de la exponencial  x = bⁿ. Esta función se escribe como: n = log_b x, lo que permite obtener n. Así, en la expresión 10² = 100, el logaritmo de 100 en base 10 es 2, y se escribe como log₁₀ 100 = 2.

Por ejemplo:

Se denomina logaritmo neperiano (ln) o logaritmo natural al logaritmo en base e de un número o resultado dado por el exponente.

Propiedades de los logaritmos

El logaritmo de un producto es igual a la suma de los logaritmos de los factores:

El logaritmo de un cociente es igual al logaritmo del dividendo menos el logaritmo del divisor:

El logaritmo de una potencia es igual al producto del exponente por el logaritmo de la base:


El logaritmo de una raíz es igual al cociente entre el logaritmo del radicando y el índice de la raíz:

Factorización: Factor Común

FACTOR COMÚN

Se dice que un polinomio tiene factor común cuando una misma cantidad, ya sea número o letra, se encuentra en todos los términos del polinomio.

Si en todos los términos de un polinomio figura un factor común, dicho polinomio es igual al producto de ese factor por el polinomio que resulta al dividir cada término por ese factor.

Para efectuar el factor común hay que tomar en cuenta que este se realiza tanto para los números como para las letras, y con las letras se toma la que tenga el menor exponente de todas.

Ejemplo:

Como puede verse el cinco es el común numérico y la “x” la única letra común en este polinomio, como dos es el menor exponente de “x” es este el exponente que se tomara en cuenta, siendo el factor común 5x2.
Nos queda como respuesta:

Ejemplos:
Encontrar el factor común de los siguientes términos:

Método de la matriz inversa en sistemas de 4x4

Funciones lineales

Otras identidades trigonométricas

Identidades de ángulo doble

Sen 2Ө= 2senӨ . cosӨ Cos 2Ө= 1 – 2sen2Ө

Identidades para la suma

Sen(x+y) = senx . cosy + cosx . seny Cos(x+y)= cosx . cosy – senx . seny Tan(x+y)= (tanx+tany) / (1 – tanx . tany)

Solución de problemas sobre sistemas de ecuaciones

http://www.juntadeandalucia.es/averroes/iesdiegogaitan/departamentos/departamentos/departamento_de_matemat/recursos/algebraconpapas/recurso/tests/sistemasproblemas/sisprob01.htm


miren como se plantea el sistema y contesten las actividades de la página.

Ecuaciones con radicales: Caso 2